Определение:
Говорят, что функция имеет пределом число , при стремлении к (или в точке ), если для каждого числа найдется такое число , что, как только неравенство

становится верным, то верным становится и неравенство
.
Обозначают этот факт так:

Замечание: это определение называют определением «по Коши». Существует также равносильное ему определение предела последовательность «по Гейне», в котором определение дается через последовательности.
Изобразим графически определение предела функции:
1) Есть функция , , :

2) Выберем произвольное положительное эпсилон (построим эпсилон- окрестность точки )

3) К выбранному эпсилон подберем значение дельты и построим дельта-окрестность точки

4) Как только будет попадать в -окрестность точки , то будет попадать в -окрестность точки , т.е. из неравенства следует неравенство .

Замечание:
Серой полосой отмечена отображение всей -окрестности на ось ординат для того, чтобы показать, что вся она лежит в -окрестности точки А.
Картинку рекомендуется осознать и запомнить, т.к. на экзамене она очень помогает составить длинное и непонятное определение предела языком эпсилон-дельта.