Определение:
Говорят, что функция имеет пределом число
, при стремлении
к
(или в точке
), если для каждого числа
найдется такое число
, что, как только неравенство
становится верным, то верным становится и неравенство
.
Обозначают этот факт так:
Замечание: это определение называют определением «по Коши». Существует также равносильное ему определение предела последовательность «по Гейне», в котором определение дается через последовательности.
Изобразим графически определение предела функции:
1) Есть функция ,
,
:
2) Выберем произвольное положительное эпсилон (построим эпсилон- окрестность точки )
3) К выбранному эпсилон подберем значение дельты и построим дельта-окрестность точки
4) Как только будет попадать в
-окрестность точки
, то будет попадать в
-окрестность точки
, т.е. из неравенства
следует неравенство
.
Замечание:
Серой полосой отмечена отображение всей -окрестности на ось ординат для того, чтобы показать, что вся она лежит в
-окрестности точки А.
Картинку рекомендуется осознать и запомнить, т.к. на экзамене она очень помогает составить длинное и непонятное определение предела языком эпсилон-дельта.