0) Основное логарифмическое тождество:
.1) Сумма логарифмом равна логарифму произведения:
Замечание: для того, чтобы все слагаемые были определены, необходимо выполнение условии:
.Доказательство:
Из определения логарифма и свойств показательной функции следует, что
Т.к. из равенства
следует равенство 
, то из равенства
следует равенство
Свойство доказано.
Замечание: обратное свойство требует ограничений:
, т.к. произведение двух отрицательных чисел положительно, а логарифм от отрицательной величины неопределен.
Пример:
2) Логарифм степени:
Доказательство:
Замечание: Т.к. выражение в левой части равенства определено, то
, а значит и 
, т.е. определена и правая часть равенства.
Т.к. из равенства
следует равенство , то из равенства
следует равенство
.Свойство доказано.
Пример:
3) Разность логарифмом равна логарифму частного:
Замечание: для того, чтобы все слагаемые были определены, необходимо выполнение условии:
.Доказательство:
Можно доказывать это свойство тем же методом, что и предыдущие два, но можно и использовать комбинацию двух уже доказанных свойств.
Свойство доказано.
Замечание: обратное свойство требует ограничений:
, т.к. частное двух отрицательных чисел положительно, а логарифм от отрицательной величины неопределен.Пример:
4) Формула перехода к новому основанию:
Доказательство:
Замечание: Т.к. выражение в левой части равенства определено, то
, значит, числитель и знаменатель правой части будут определены при любом 
.Знаменатель этой дроби не равен нулю, т.к. логарифм равен нулю только в том, случае, если его аргумент равен 1 (
) и известно, что 
.
Доказывать равенство следует в виде:
Из определения логарифма и свойств показательной функции следует, что
Т.к. из равенства
следует равенство , то из равенства
следует равенство .
Свойство доказано.
Пример:
