Пример 1. (Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, Л.А.Беклемешева, А.Ю.Петрович, И.А.Чубаров., задача №2.1)
Найти скалярное произведение векторов a и b, если:
1)
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу
![](/scale/image010.gif)
Подставим:
![](/scale/image082.png)
Замечание: угол между векторами острый – скалярное произведение положительно.
Ответ:
![](/scale/image084.png)
2)
![](/scale/image086.png)
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу
![](/scale/image010.gif)
Подставим:
![](/scale/image088.png)
Замечание: угол между векторами тупой – скалярное произведение отрицательно.
Ответ: -21
3)
![](/scale/image090.png)
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу
![](/scale/image010.gif)
Подставим:
![](/scale/image092.png)
Замечание: угол между векторами прямой (вектора перпендикулярны) – скалярное произведение равно нулю. Этот факт применяют в случае, если требуется определить, являются ли вектора взаимоперпендикулярными.
Ответ: 0
4)
![](/scale/image094.png)
Решение:
Известны длины векторов и то, что они сонаправлены, т.е. они параллельны или лежат на одной прямой и направлены в одну сторону.
![](/scale/image096.jpg)
Угол между ними равен нулю. Используем ту же формулу
![](/scale/image010.gif)
Подставим:
![](/scale/image098.png)
Ответ: 5.
5)
![](/scale/image101.png)
Решение:
Известны длины векторов и то, что они противоположно направлены, т.е. они параллельны или лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.
![](/scale/image102.jpg)
Угол между ними развернутый, т.е. равен 180 градусов.
Подставим:
![](/scale/image105.png)
Ответ: -6.
Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов
и
.
Решение:
Здесь векторы a и b заданы как суммы базисных векторов (в ортонормированном базисе), т.е. они имеют координаты и
.
Известны их координаты, поэтому для вычисления скалярного произведения применим формулу
(стрелочки над векторами ставить не будем, как и в большинстве задачников, но, вообще говоря, они должны быть).
Подставим:
Ответ: -13.
Пример 3.
Вычислить скалярное произведение , если известно, что
и
.
Замечание: здесь использовано альтернативное обозначение операции скалярного умножения векторов: .
Решение:
Первый вектор в скалярном произведении: . Найдем его координаты, используя элементы векторной алгебры.
![](/scale/image130.png)
Аналогично со вторым вектором:
![](/scale/image132.png)
![](/scale/image134.png)
Далее по формуле:
![](/scale/image136.png)
Ответ: -54,12
Пример 4:
Вычислить скалярное произведение , если известно, что
.
Решение:
Здесь неизвестны координаты векторов a и b, поэтому найти координаты векторов и
затруднительно.
Используем свойства скалярного произведения (см. Свойства скалярного произведения векторов.):
![](/scale/image138.png)
Применим свойство 7)
![](/scale/image146.png)
И свойство 6)
![](/scale/image148.png)
И свойство 3)
![](/scale/image150.png)
И свойство 1)
![](/scale/image152.png)
Ответ:
![](/scale/image154.png)
Пример 5.
Найти угол
![](/scale/image008.gif)
![](/scale/image122.png)
![](/scale/image157.png)
Решение:
Применим формулу
![](/scale/image159.png)
Подставим
![](/scale/image161.png)
Ответ:
![](/scale/image163.png)