Уравнение вида

называется однородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Его решение составляется на основе корней характеристического уравнения.
Этому однородному уравнению соответствует характеристическое уравнение:

и пусть оно имеет корни

1) Если


2) Если





3) Если


4) Если


Примеры:
Пример 1.
Решить уравнение:
Составим и решим характеристическое уравнение
Получили два действительных корня кратности 1 ( т.е. их по 1 шт. ), тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Ответ:
Пример 2.
Решить уравнение:
Составим и решим характеристическое уравнение
Получили три действительных корня.
( кратность- 1) и
(т.к. их 2 шт. одинаковых, то кратность — 2) , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Заметьте, т.к. корень -2 имеет кратность 2, то сомножителем в соответствующем слагаемом будет не просто С, а общий вид многочлена первой степени, т.е. степени, на 1 меньшей кратности корня.
Ответ:
Пример 3.
Решить уравнение:
Составим и решим характеристическое уравнение
Получили пару комплексных сопряженных корней, кратности 1
, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Ответ:
Пример 4.
Решить уравнение:
Составим и решим характеристическое уравнение
Получили две одинаковые парф комплексных сопряженных корней, т.е. кратности 2
, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Ответ: