Пример:
Решить задачу о колебании струны с закрепленными концами, если начальные скорости точек равны нулю, внешние силы отсутствуют, а начальное отклонение
имеет форму параболы, осью симметрии которой служит прямая
, а вершиной – точка
.
Решение:
Составим уравнение, описывающее колебание этой струны:
В данном случае:
а) т.к. концы закреплены, то .
б) начальные скорости точек раны нулю:
в) начальное отклонение имеет форму параболы, осью симметрии которой служит прямая
, а вершиной – точка
. Составим уравнение этой параболы.
Общий вид уравнения параболы: . Известно, что эта парабола проходит через три точки:
, причем
— её вершина.
Подставим эти координаты в уравнение параболы и получим систему:
Итак, парабола задана уравнением:
Задача составлена:
.
Решим его методом разделения переменных.
Представим функцию как произведение двух функций, одна из которых завист только от
, а другая только от
:
Уравнение и его граничные условия в точности соответствуют разобранному материалу в теоретической части, поэтому сразу можно записать решение:
с коэффициентами
и
Подставим значения и
.
Для того, чтобы вычислить этот интеграл нужно дважды воспользоваться формулой интегрирования по частям.
+ Показать/спрятать вычисления.
Поставляем вычисленные коэффициенты:
Замечание: Последнее преобразование объясняется тем, что при четном сомножитель
равен 0, а при нечетном, т.е.
, он равен -2.
Ответ: