Теоретическая подоплека:
1) Произведение двух сомножителей больше нуля тогда и только тогда, когда эти сомножители одного знака: либо оба положительны, либо оба отрицательны.
2) Произведение двух сомножителей меньше нуля тогда и только тогда, когда эти сомножители противоположных знаков: один из них положителен, а другой — отрицателен.
3) Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Эти утверждения легко проверить на обычных числах.

Замечание: в статье «решение квадратных неравенств» доказывалась формула разложения квадратного трехчлена на сомножители:
, где, — корни квадратного трехчлена.
Пример 1: Решить неравенство: .
Разложим квадратный трехчлен на сомножители (вдруг получится).

Неравенство примет вид:

Разделим обе части неравенства на 2, т.е. на положительное число, а значит, знак неравенства не поменяется.

Произведение двух сомножителей больше нуля тогда и только тогда, когда эти сомножители одного знака: либо оба положительны, либо оба отрицательны.
1) Оба положительны.


Ответ случая:
2) Оба отрицательны.


Ответ случая:

Объединим результаты случаев:

Объединение этих решений:
Ответ:

Пример 2: Решить неравенство: .
Разложим квадратный трехчлен на сомножители (вдруг получится).

Неравенство примет вид:

Произведение двух сомножителей меньше нуля тогда и только тогда, когда эти сомножители противоположных знаков: один из них положителен, а другой — отрицателен.

Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

1) Первый сомножитель неотрицателен (больше или равен нулю), второй сомножитель неположителен (меньше или равен нулю).


Ответ случая:
2) Первый сомножитель неположителен, второй сомножитель неотрицателен.

Решения первого и второго неравенства системы не пересекаются, значит, решений нет.
Ответ случая: решений нет.

Т.к. во втором случае нет решения, то решением всего неравенства будет ответ первого случая:
Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство
Разложим квадратный трехчлен на сомножители (ну вот вдруг опять получится).

Корней нет. Квадратный трехчлен нельзя разложить на множители (над полем действительных чисел).
Не получилось.
Вывод: в таком случае лучше воспользоваться геометрическим методом, изложенным выше.