Главная > Самоучители > Подготовка к ЕГЭ-ГИА (элементарная математика) > Решение квадратных неравенств. Графический метод > Метод интервалов для решения квадратных неравенств

Метод интервалов для решения квадратных неравенств

      Назад Оглавление Вперед

Вот и подошли мы к методу интервалов. Рассмотрим его урезанную версию – для решения квадратных неравенств.
Суть метода интервалов будет пояснена на примерах:

Пример 1. Решить неравенство: .
Разложим квадратный трехчлен на сомножители.

Неравенство примет вид:

Выше обсуждалось, что знак произведения двух сомножителей (а произведение сравнивается с нулем, т.е. важны те значения переменной, при которых произведение принимает неотрицательные значения) зависит только от знака каждого из сомножителей, и не зависит от их абсолютной величины.
Грубо говоря, нам все равно: или , потому что оба этих произведения отрицательны.


Итак, есть два сомножителя:
Первый : . Этот сомножитель меняет свой знак при , т.е при это выражение отрицательно: , а при оно принимает положительные значения: .

Второй: . Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: .

Вывод: знак произведения меняется только при переходе переменной через значения и .
В этом и заключается смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Построим чертеж.

Рассмотрим эти интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.
1) . На этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение.
Например:

Вывод: при верно неравенство
Внесем эти данные в чертеж. Это делать обязательно для визуализации процесса.

2) . На этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию. Можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение.
Например:

Вывод: при верно неравенство
Внесем эти данные в чертеж.

3) . На этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию. Можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение.
Например:

Вывод: при верно неравенство
Внесем эти данные в чертеж.

4) Исходное неравенство: . Уже определено решение строго неравенства :
.
Равенство нулю: — при . Точки, удовлетворяющие неравенству обозначаются закрашенными, а неудовлетворяющие – незакрашенными.

Окончательный ответ:

Пример 2: Решить неравенство .
Краткое оформление решения:



Ответ: .
Более подробно Метод интервалов рассмотрен в соответствующей статье.


Понравилась статья?


      Назад Оглавление Вперед

Оставить комментарий

Вы должны Войти чтобы оставить комментарий.