Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Подготовка к ЕГЭ-ГИА (элементарная математика) > Логарифмы. Преобразование выражений, решение уравнений и неравенств. > Решение логарифмических неравенств с переменной в основании и в аргументе одновременно.

Решение логарифмических неравенств с переменной в основании и в аргументе одновременно.

      Назад Оглавление

Рассмотрим в общем виде:


Здесь засада сразу: в основании логарифма присутствует переменная, и, вообще говоря, нельзя однозначно определить, является ли основание большим 1 или от 0 до 1, т.е. является ли этот логарифм возрастающей функцией или убывающей.
Рассмотрим оба случая.
1) , т.е. — возрастающая функция.
Преобразуем неравенство так, чтобы справа была аналогичная функция:
.

Функция то возрастающая, значит «убираем логарифмы, знак неравенства не меняем».

Итог случая: ограничение случая и результат преобразования должны выполняться одновременно, т.е. их можно записать в виде системы неравенств:

Преобразуем:

2) , т.е. — убывающая функция.
.
Функция убывающая, значит «убираем логарифмы, знак неравенства меняем на противоположный».


Итог случая: ограничение случая и результат преобразования должны выполняться одновременно, т.е. их можно записать в виде системы неравенств:

Слукавим, оставив часть для ОДЗ неравенства, как, впрочем, и ограничение
Получим:

Вывод.
Неравенство свелось к двум случаям:

или .

Заметим, что в каждом случае выражения в левых частях одинаковы и сравниваются с нулем.
Помним, что «произведение двух сомножителей больше нуля тогда и только тогда, когда эти сомножители одного знака, или оба положительны, или оба отрицательны».
Так здесь мы это же и видим: или оба положительны, или оба отрицательны. А давайте запишем то, что произведение этих сомножителей должно быть положительным.
Получаем, что системы
или

равносильны неравенству:
.

Последний вывод:
Логарифмическое неравенство


равносильно неравенству
.

Замечание: не забываем про ОДЗ:


И, соответственно,
Логарифмическое неравенство

равносильно неравенству
.

Пример:
Решить неравенство:


Решение:
Начнем с ограничений

Начнем с общих вещей. Перейдем к одинаковому основанию во всех логарифмах.

Преобразуем:

Используем свойство «Логарифм частного»

Вот это и есть предмет нашего рассмотрения.
В основании стоит функция , в аргументе логарифма стоит функция и логарифм меньше нуля, значит, он эквивалентен неравенству :


Преобразуем, домножаем на квадрат знаменателя, раскладываем на сомножители первой степени:


Применим метод интервалов

Решение:
Пересечем с ОДЗ :


Ответ:

КОНЕЦ.

      Назад Оглавление