Наши Партнеры:

 


Решение логарифмических неравенств.

      Назад Оглавление Вперед

Определение: Функция называется возрастающей , если из неравенства


следует неравенство

Другими словами: большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Пример:

Определение: Функция называется убывающей, если из неравенства

следует неравенство

Другими словами: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пример:

Замечание: Особенностью решения логарифмических уравнений является то, что функция логарифма может быть как убывающей, если основание от 0 до 1, так и возрастающей, если основание больше 1.

Пример 1:
Решить неравенство .
Решение:
Замечание: При решении уравнения вида нужно всего-навсего использовать основное логарифмическое тождество и получить алгебраическое уравнение: . При решении логарифмических неравенств вида так поступить нельзя, потому что это неравенство, т.е. нельзя применить тождество.

Итак, дано неравенство


В левой части стоит логарифм по основанию 4.
В правой части стоит число 2. Запишем его в виде логарифма по основанию 4:

Уравнение примет вид:

И тут начинается самое интересное. В левой и правой части стоят логарифмы по основанию 4, т.е. сравниваются два значения функции . Построим схематический график этой функции. Основание логарифма больше 1, значит это возрастающая функция.


Отметим точку с координатами (16;2) и покажем тот кусок графика, для которого верно неравенство (синий цвет). Значения аргумента, при которых это неравенство верно обозначено зеленым цветом.


Далее говорим: Функция — возрастающая, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Простыми словами: отбрасываем знаки логарифмов и не меняем знак.



Определим ОДЗ для этого неравенства. Единственное ограничение, накладываемое на переменную – аргумент логарифма должен быть больше нуля, т.е. .
Накладываем это ограничение на полученное неравенство и получаем ответ:

Ответ:

Пример 2:
Решить неравенство:


Решение:

Найдем ОДЗ переменной для этого неравенства из соображения, что аргумент логарифма должен быть положительным.


Итого, ОДЗ: , в интервальной записи это выглядит так:

Приступим непосредственно к решению неравенства.
Основания логарифмов разные. Прейдем везде к основанию 0,5.


Ну и дальше используем определение и свойства логарифмов:

Представим правую часть как логарифм по основанию 0,5

Слева и справа от знака неравенство стоят одинаковые функции от разных аргументов. Основание этого логарифма равно 0,5, т.е. от 0 до 1, значит это убывающая функция и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
(отбрасываем log и меняем знак на противоположный):

Известно, что (аргумент логарифма может быть только положительный), значит, можно домножить обе части этого неравенства на и знак неравенства не изменится.

Получили квадратное неравенство. О том, как их решать почитайте в статье: Решение квадратных неравенств.

Построим картинку


Решается неравенство «», т.е. решение – интервал: .
Пересечем с ОДЗ (пересечение решения неравенства и ОДЗ отмечено зеленым цветом):

Ответ: (запись с помощью неравенств: )

      Назад Оглавление Вперед