Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Математический анализ. > Неопределенный интеграл. Первообразная. Таблица интегралов. > Формула интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям.

      Назад Оглавление Вперед

Для интегрирования некоторых функций применяют формулу:
.
Для правильного применения этой формулы необходимо чётко понимать, что в выражение есть
, а что есть , и какая выгода получается от применения этой формулы.
Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы:
Пример 1.
Вычислить неопределенный интеграл

Решение:
Для наглядности можно написать одно над другим:

Невооруженным глазом видно, что для применения формулы нужно принять такие обозначения:
.
Воспользуемся формулой интегрирования по частям (в записи много пробелов для того, чтобы каждая часть второй строки стояла четко под соответствующей частью первой строки) :

Все. Формулу применили. Дальше используются уже изученные методы интегрирования. В частности, вынесение логарифма из-под знака дифференциала


Ответ:
Замечание:
Особо следует обратить внимание на то, что после применения формулы интегрирования по частям та часть, которая стояла «вне» дифференциала ( ) «попадает» под него ( ), и следующим действием в Примере 1 эта часть выносится из-под знака дифференциала ( ) . То есть, от нее находится производная.
В предыдущем примере за был взят и при дифференцирования получили , т.е. избавились от логарифма и получили простейший интеграл. Сделаем вывод: за лучше всего брать такой сомножитель, производная от которого в данном конкретном случае «выгодна».
Применим эти логические выводы к следующему интегралу.
Пример 2.
Вычислить неопределенный интеграл

Решение:


Опять можно использовать запись «одно над другим»:
1) НЕПРАВИЛЬНЫЙ ПУТЬ РАССУЖДЕНИЙ

По аналогии с предыдущим примером можно предположить, что

Применим форму интегрирования по частям:

[Вынесем функцию из под знака дифференциала
]

Подынтегральное выражение не только не упростилось, а даже наоборот.
2) Правильный путь рассуждений.

Подынтегральное выражение нужно разделить на 2 части. Это лучше сделать таким образом:

Для применения формулы интегрирования по частям необходимо найти значение .


Эта часть решения аналогична занесению под знак дифференциала, при этом тоже находиться первообразная функции.



Ответ:
Пример 3.
Вычислить неопределенный интеграл

Решение:

[Очевидно, что хочется избавиться от логарифма, т.е. найти от него производную. Для того, чтобы привести этот интеграл к виду нужно занести х под знак дифференциала.

]

[ Интеграл приведен к виду , можно применить формулу интегрирования по частям]

[ выносим функцию из-под знака дифференциала
]


Ответ:
Бывают также задачи, в которых необходимо применять формулу интегрирования по частям два и более раз.


Понравилась статья?


      Назад Оглавление Вперед

Оставить комментарий

Вы должны Войти чтобы оставить комментарий.