Задача о нахождении вынужденных колебаний однородной струны , жестко закрепленной на концах, под действием внешней силы с плотностью
приводится к решению уравнения.
(8)
при начальных условиях
(9)
и граничных условиях
. (10)
Пояснение: , где
— линейная плотность струны.
Решение этой задачи ищется в виде суммы
,
где:
1) — решение неоднородного уравнения
с граничными условиями
и начальными условиями
(решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями).
2) — решение однородного уравнения
с граничными условиями
и начальными условиями
(решение однородного уравнения с условиями (9), (10)).
Пояснение: Как легко запомнить про и
? Очень просто: поставленная задача (8)-(10) имеет две «сложности»: неоднородность в виде слагаемого
и ненулевые (в общем случае) начальные условия
. Одну из этих сложностей обрабатываем в
, а другую – в
.
1. Найдем . Для этого необходимо решить уравнение
с граничными условиями
и начальными условиями
.
Формулировка задачи полностью совпадает с уравнением гиперболического типа, решенным методом Фурье в первом параграфе этой статьи. Решением является функция:
с коэффициентами
и
Следует так же заметить, что при решении задачи были найдены собственные значения и собственные функции
.
2. Найдем . Для этого нужно решить неоднородное уравнение
с граничными условиями
и начальными условиями
.
Решение ищется в виде: . (11)
Замечание: Используются собственные значения и собственные функции предыдущего уравнения.
Подставляем (11) в исходное уравнение (8).
Разложим функцию в ряд Фурье по синусам в интервале
:
Сравниваем два последних равенства :
Отсюда можно составить дифференциальное уравнение:
, где
. (12)
Причем решать это уравнение нужно при нулевых начальных условиях
.
В задачнике В.С. Владимирова сказано (и это правда), что решение этого уравнения при таких начальных условиях можно записать в виде:
.
Замечание: Подробно получение этой формулы не рассматривается, т.к. если при решении конкретной задачи получилось уравнение вида (12), то следует просто применить эту формулу, а если получилось уравнение другого вида, то каждый конкретный случай нужно решать индивидуально.
Подставим это в (11) и получим выражение для .
Итог:
Решение исходной задачи (8)-(10) представляется в виде:
, где
,
и
120.