Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Признаки делимости (с доказательством).

Признаки делимости (с доказательством).

Вперед

Оглавление.

1. Основные определения и теоремы.
2. Признак делимости на 2.
3. Признак делимости на 3.
4. Признак делимости на 4.
5. Признак делимости на 5.

Основные определения и теоремы.

Предмет изучения этой статьи – целые числа.

Такие арифметические операции, как сложение, вычитание и умножение целых чисел в результате дают так же целое число. Особое внимание следует обратить на деление двух целых чисел, т.к. результатом такого деления может быть и не целое число.

Определение: Натуральными называются целые неотрицательные числа такие, как 0,1,2…

Замечание: В пределах этой статьи под «числом» следует понимать «целое число».

Определение: Число a делится на число b (или, что то же самое, число b делит число a), если существует такое число c, что верно равенство

.

Запись факта делимости числа a на число b :
.

Этот знак, три точки, обозначает лишь то, что число делится на другое число, и совсем не проводит какое либо действие с этими числами, как например, знак +, который производит сложение двух чисел и выдает результат этого действия.

Всегда, когда при прочтении текста встречается запись , следует читать «число а делится на число b«.

Важное замечание: В формулировке некоторых теорем, утверждений и т.п. часто встречается фраза «…тогда и только тогда, когда…».

Например: «Свойство a выполняется тогда и только тогда, когда выполняется свойство b.»

Эту длинную разу можно разбить на две:
1) «Свойство a выполняется тогда, когда выполняется свойство b.»
2) «Свойство a выполняется только тогда, когда выполняется свойство b.»

Первое обозначает, что если есть b, то из него следует a, а второе обозначает обратное, что если есть a, то есть и b. При доказательстве теорем и утверждений для этих случаев используется терминология «туда» и «обратно». Фраза «необходимо и достаточно» имеет абсолютно аналогичное значение.

Встречается обозначение: , т.е. туда: и обратно: .

Замечание: При доказательстве теорем на делимость требуется посимвольное представление многозначного числа. Например, число 543. У него количество единиц – 3 шт., количество десятков – 4 шт., и 5 сотен, т.е. 5,4 и 3 – это цифры, то есть символы, и из них уже составляется число 543.


Теперь перейдем к переменным. Пусть . Как же записать число 543? Если записать , то возникает проблемка – в математике зачастую не пишется знак умножения, и в этом случае получится, что , а совсем не 543.

В случае, если требуется именно символьная запись, над числом ставят черту: . Она и говорит, что эти буквы надо воспринимать именно как символы.

Пример: Число можно представить несколькими способами:

1) Если , то

.

2) Если , то
.

3) Если , то
.

Простейшие свойства делимости:

1) (рефлексивность делимости).
2) Если и , то (транзитивность).
3) Если и , то либо , либо (антисимметричность).
4) Если и , то
.
5) Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы .
6) Если , то

.

Но, если не вдаваться в тонкости, то для доказательств признаков делимости будут использоваться две теоремы:

Теорема 1:

Пусть — натуральные числа. Если и , то .
(Если каждое из слагаемых делится на какое-либо число, то и все сумма делится на это число.)

Доказательство:

Если и , то, по определению делимости, существуют такие числа и , что верны равенства:

.

Складываем равенства (левую часть первого равенства складываем с левой частью второго, а правую – с правой):

.

Получили, что существует такое число , что верно равенство
.

Это и означает по определению делимости, что (сумма делится на с ).

Теорема доказана.
Теорема 2:
Пусть — натуральные числа. Если , то и .
(Если в произведении хотя бы один сомножитель делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число.)
Доказательство:
Пусть дано произведение и , т.е. a можно представить как , где p — натуральное число.
Исходное произведение получается в виде:

.

Это, по определению делимости, и обозначает делимость произведения
.
на c.


Понравилась статья?


Вперед

Оставить комментарий

Вы должны Войти чтобы оставить комментарий.