Наши Партнеры:

 


Главная > Самоучители > Подготовка к ЕГЭ-ГИА (элементарная математика) > Монотонность и метод рационализации.

Монотонность и метод рационализации.

Вперед

Оглавление.

1. Монотонность и метод рационализации. Начало теории.
2. Пример применения метода рационализации.
3. Пример решения логарифмического неравенства методом рационализации. Важный!
4. Пример применения метода рационализации. Сложный!

Метод рационализации – правило, по которому можно свести неравенство, содержащее «противные» функции типа логарифмов или радикалов, синусов-косинусов и т.д. к рациональному неравенству, которое уже любой школьник сможет решить методом интервалов.

Вся соль метода рационализации заключается в понятии монотонной функции.

Определение: Функция называется монотонно возрастающей (убывающей), если для любых из области определения таких, что , справедливо неравенство .

Поясним определение графически:


Монотонно возрастающая функция Монотонно убывающая функция

Замечание: функция называется монотонной, если она монотонно возрастает или монотонно убывает.

Перейдем к описанию и применению самого метода рационализации.

Пусть функция монотонно возрастающая и числа принадлежат её области определения. Тогда, по определению монотонно возрастающей функции, из неравенства следует неравенство .

Как следствие, утверждаем, что если , то , т.е. осознаем, что выражения и имеют одинаковый знак.

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Преобразуем неравенство так, чтобы в его левой и правых частях стояли одинаковые функции.


Т.е. функция возрастающая, то

Квадратный трехчлен корней не имеет, т.е. парабола оси абсцисс не пересекает, т.е. лежит выше неё и при любом значении х верно .
Ответ: х – любое.




Но для таких простых задач не стоило бы придумывать отдельный метод и называть его «метод рационализации». Усложним.

Пусть функции — монотонно возрастающие.

Требуется решить неравенство .

Помним, что выражения и имеют одинаковый знак. Аналогично для выражений и .

Получим рациональное неравенство:

.

Его, конечно же, можно решить методом интервалов.

Заметим, что множество решений второго неравенства больше или равно множества решений исходного неравенства, т.к. следует не забывать об области определения функций и .

Оглавление Вперед