Оглавление.
1.Выделение полного квадрата. Формулы корней квадратного уравнения.
2.Примеры решения квадратных уравнений.
3.Решение неполных квадратных уравнений.
4.Разложение квадратного трехчлена на сомножители.
Определение:
Уравнение вида
![](/SqEqv/image002.gif)
![](/SqEqv/image004.gif)
называется квадратным уравнением.
Из любого квадратного трехчлена или многочлена второй степени можно выделить полный квадрат, т.е. преобразовать к виду:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image006.gif)
Для того, чтобы выделить полный квадрат необходимо вспомнить формулы сокращенного умножения «квадрат суммы» и «квадрат разности»:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image008.gif)
Конечно, следует всегда и везде помнить абсолютно все формулы сокращенного умножения.
Рассмотрим общий вид квадратного трехчлена:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image010.gif)
Глядя на формулу «квадрат суммы», нужно привести к такому виду, что первым слагаемым будет квадрат какого-либо выражения:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image012.gif)
[
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image014.gif)
Второе слагаемое должно быть в виде удвоенного произведения первого выражения (которое в квадрате) на что-либо еще.
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image016.gif)
[ Обращаем внимание, что
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image018.gif)
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image020.gif)
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image022.gif)
Третье слагаемое должно быть квадратом «остатка» второго слагаемого, его следуем прибавить и, для равновесия, отнять:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image024.gif)
Первые три слагаемые можно свернуть по формуле :
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image028.gif)
Это и есть полный квадрат (переменная стоит только внутри скобки)
Формула:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image032.gif)
— общий вид выделения полного квадрата из произвольного квадратного трехчлена.
Возвращаемся к решению квадратного уравнения:
Требуется решить квадратное уравнение
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image002.gif)
Левую часть можно преобразовать и уравнение примет вид:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image034.gif)
Перенесем вправо второе и третье слагаемые
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image036.gif)
Извлечем корень квадратный из обеих частей равенства. Корень извлекается с .
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image040.gif)
Преобразуем подкоренное выражение:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image042.gif)
Перенесем второе слагаемое левой части вправо с противоположным знаком:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image044.gif)
Преобразуем правую часть:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image046.gif)
Получены формулы для корней квадратного уравнения. Подкоренное выражение называют дискриминантом и обозначается
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image048.gif)
Вывод:
Для решения квадратного уравнения
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image002.gif)
Можно воспользоваться формулами:
![](http://kontromat.ru/SqEqv/image050.gif)
Замечание: Формулы верны также и для неполных квадратных уравнений, т.е. если или
.
Примеры решения различных квадратных уравнений даны в следующей главе.