Оглавление.
1. Основные определения и теоремы.
2. Признак делимости на 2.
3. Признак делимости на 3.
4. Признак делимости на 4.
5. Признак делимости на 5.
Основные определения и теоремы.
Предмет изучения этой статьи – целые числа.
Такие арифметические операции, как сложение, вычитание и умножение целых чисел в результате дают так же целое число. Особое внимание следует обратить на деление двух целых чисел, т.к. результатом такого деления может быть и не целое число.
Определение: Натуральными называются целые неотрицательные числа такие, как 0,1,2…
Замечание: В пределах этой статьи под «числом» следует понимать «целое число».
Определение: Число a делится на число b (или, что то же самое, число b делит число a), если существует такое число c, что верно равенство
.Запись факта делимости числа a на число b :
.Этот знак, три точки, обозначает лишь то, что число делится на другое число, и совсем не проводит какое либо действие с этими числами, как например, знак +, который производит сложение двух чисел и выдает результат этого действия.
Всегда, когда при прочтении текста встречается запись , следует читать «число а делится на число b«.
Важное замечание: В формулировке некоторых теорем, утверждений и т.п. часто встречается фраза «…тогда и только тогда, когда…».
Например: «Свойство a выполняется тогда и только тогда, когда выполняется свойство b.»
Эту длинную разу можно разбить на две:
1) «Свойство a выполняется тогда, когда выполняется свойство b.»
2) «Свойство a выполняется только тогда, когда выполняется свойство b.»
Первое обозначает, что если есть b, то из него следует a, а второе обозначает обратное, что если есть a, то есть и b. При доказательстве теорем и утверждений для этих случаев используется терминология «туда» и «обратно». Фраза «необходимо и достаточно» имеет абсолютно аналогичное значение.
Встречается обозначение: 
, т.е. туда: 
и обратно: 
.
Замечание: При доказательстве теорем на делимость требуется посимвольное представление многозначного числа. Например, число 543. У него количество единиц – 3 шт., количество десятков – 4 шт., и 5 сотен, т.е. 5,4 и 3 – это цифры, то есть символы, и из них уже составляется число 543.
Теперь перейдем к переменным. Пусть 
. Как же записать число 543? Если записать 
, то возникает проблемка – в математике зачастую не пишется знак умножения, и в этом случае получится, что 
, а совсем не 543.
В случае, если требуется именно символьная запись, над числом ставят черту: 
. Она и говорит, что эти буквы надо воспринимать именно как символы.
Пример: Число 
можно представить несколькими способами:
1) Если 
, то
.2) Если
, то
.3) Если
, то
.Простейшие свойства делимости:
1) 
(рефлексивность делимости).
2) Если 
и 
, то 
(транзитивность).
3) Если и 
, то либо 
, либо 
(антисимметричность).
4) Если и 
, то
.
5) Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы 
.
6) Если 
, то
.Но, если не вдаваться в тонкости, то для доказательств признаков делимости будут использоваться две теоремы:
Теорема 1:
Пусть 
— натуральные числа. Если 
и 
, то 
.
(Если каждое из слагаемых делится на какое-либо число, то и все сумма делится на это число.)
Доказательство:
Если и , то, по определению делимости, существуют такие числа 
и 
, что верны равенства:
.Складываем равенства (левую часть первого равенства складываем с левой частью второго, а правую – с правой):
.Получили, что существует такое число
, что верно равенство
.Это и означает по определению делимости, что (сумма делится на с ).
Теорема доказана.
Теорема 2:
Пусть — натуральные числа. Если , то и 
.
(Если в произведении хотя бы один сомножитель делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число.)
Доказательство:
Пусть дано произведение 
и , т.е. a можно представить как 
, где p — натуральное число.
Исходное произведение получается в виде:
.Это, по определению делимости, и обозначает делимость произведения
.