Оглавление.
1. Определения и простейшие задачи на вычисление модулей.
2. Уравнения вида 
.
3. Уравнения вида 
(первый способ).
4. Уравнения вида (второй способ).
5. Построение графика модуля функции.
6. Решение уравнений с модулем графическим методом.
7. Решение неравенства с модулем графическим методом.
Определения и простейшие задачи на вычисление модулей.
Одним из простейших типов алгебраических уравнений являются уравнения, содержащие модуль. Дадим определение этого математического объекта.
Определение 1 (основное): Модулем числа 
называется величина, вычисляемая по правилу:
Определение 2: Модулем числа называется абсолютное значение этого числа.
Определение 3 (геометрическое): Модуль числа
равен расстоянию на числовой прямой от точки с координатой до нуля.Пример:
1) Вычислить
.По аналогии с определением, написанным чуть выше,
, значит, для того, чтобы раскрыть модуль, нужно пойти по первой строчке определения:
2) Вычислить
.По аналогии с определением:
, значит, для того, чтобы раскрыть модуль, нужно пойти по второй строчке определения:
Пример: Отметить на числовой прямой все значение х, такие, что 
.
По геометрическому определению, 
это число, отстоящее от нуля на 2 единицы, т.е. 
и 
. Получим, что 
.
Замечание:
— такие числа, которые от числа удалены на 
единиц.Пример: Отметить на числовой прямой все значение х, такие, что
.Замечание: По аналогии с предыдущим примером:
— такие числа, которые от числа удалены менее, чем на единиц.
В этом случае: — такие числа, которые от числа 5 удалены менее, чем на 3 единицы.
Все эти значения можно записать в виде неравенства:
Пример: Отметить на числовой прямой все значение х, такие, что 
.
Замечание: По аналогии с предыдущим примером: 
— такие числа, которые от числа удалены не менее, чем на единиц.
В этом случае: — такие числа, которые от числа 5 удалены не менее, чем на 3 единицы.
Все эти значения можно записать в виде объединения неравенств: 
Вывод:
1) Модуль всегда равен положительному числу.
2) Если под знаком модуля положительное число, то знак модуля просто снимается.
3) Если под знаком модуля отрицательное число, то у него меняется знак на противоположный, и оно становится положительным.
Пример:
1) Снять знак модуля: 
Определим знак подмодульного выражения.
Предположим, что оно положительное:
Обе части неравенства одного знака, значит, его можно возвести в квадрат. Они положительны, значит, знак неравенства не изменится.
Неравенство верное, значит, и предположение о знаке выражения верное, т.е.
.Подмодульное выражение положительно, знак модуля можно просто снять.
.Пример:
Упростить выражение 
.
Здесь нужно помнить две вещи:
а) 
, мы же все-таки про модули тут разговаривает.
б) 
, формула сокращенного умножения квадрат разности.
Рассмотрим подкоренное выражение и представим его в виде полного квадрата
Замечание:
полного квадрата, это просто равенство легко доказывается простым раскрытием скобок.Замечание: Здесь намеренно выбран порядок слагаемых вида
для того, чтобы первый пункт не пропал даром.Итак, подставим полученное выражение в исходное
И вот он, первый пункт….
Раскроем модуль по основному определению. Определим знак подмодульного выражения. В этом случае это легко, т.к. интуитивно понятно, что
и 
, а, значит, 
. Вернемся к выражению
Итог:
